Лукинский В. С., Цвиринько И. А. "Анализ формулы Бауэрсокса-Клосса"
Управление запасами – важнейшая функция логистики, которой посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Согласно соответствующей классификации одним из видов запасов является «страховой» (или «гарантийный»), «поддерживаемый для защиты от неопределенности» [1]. Далее в цитируемой работе указывается: - «основное назначение страховых запасов в том, чтобы покрывать потребности, вызванными краткосрочными колебаниями снабжения или спроса».
В условиях неопределенности, вызванной различными причинами, но главным образом случайных характером ежедневного спроса dj и продолжительности функционального цикла Ti, в работе [1] рекомендована формула для расчета требуемой величины страхового запаса:
SS = kσc, (1)
где k – коэффициент, определяемый с помощью табулированной функции f(k);
σc – общее среднее квадратичное отклонение.
В виду отсутствия в работе [1] ссылок на других авторов назовем ее формулой Бауэрсокса-Клосса.
Функция f(k) – функция потерь, определяющая площадь, ограниченную правой «ветвью кривой нормального распределения». В табл.1 приведены значения k и f(k).
Согласно [1] функция f(k) рассчитывается по формуле:
f(k) = (1-SL)Q/σc, (2)
где SL – величина дефицита;
Q – размер заказа.
Таблица 1
Значения функции потерь f(k) и коэффициента k (фрагмент)
f(k)
k
f(k)
k
0,3989
0,0
0,0366
1,4
0,3068
0,2
0,0232
1,6
0,2304
0,4
0,0110
1,8
0,1686
0,6
0,0074
2,0
0,1202
0,8
0,0036
2,3
0,0833
1,0
0,0014
2,6
0,0561
1,2
0,0003
3,0
Величина дефицита SL в цитируемой работе называется также «уровнем доступности продуктов» или «желательный уровень обслуживания». Судя по размерности, SL может быть названа вероятностью отсутствия дефицита.
Входящее в формулы (1) и (2) общее среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:
σc =
где – соответственно среднее значение продолжительности функционального цикла и количество продаж продукта в день;
σс, σd – соответственно средние квадратические отклонения случайных величин T и D.
Для иллюстрации формул приводится пример расчета при исходных данных Q=300 ед., σс =13 ед., SL – 0,99. По формуле (2) находится f(k)=0,2308; k=0,4 (по табл. 1) и затем по формуле (1):
SS=0,4·13=5,2 ед.
Таким образом, по формулам Бауэрсокса-Клосса страховой запас в 5 единиц «обеспечивает насыщение спроса клиентов на 99 % при размере заказа 300 единиц».
В табл.2 приведены результаты расчетов при других Q: 200 и 100 единиц. Из табл.2 следует парадоксальный вывод: чем меньше размер заказа Q, тем больше страховой запас SS.
Таблица 2
Зависимость страхового запаса от размера заказа (по Бауэрсоксу-Клоссу)
Размер заказа Q, ед.
f(k)
k
Страховой запас SS, ед.
300
200
100
0,400
0,154
0,077
0,4
0,65
1,05
5,2
8,4
13,6
50*
518,6*
13*
5*
1*
0,0380
0,3989
0,0100
0,0038
0,00077
1,4
0
1,85
2,28
2,76
18,2
0
24,0
29,6
36,0
*) расчеты выполнены авторами
Отсутствие убедительных доказательств данного явления в работе [1] потребовало дополнительных расчетов при различных Q, результаты которых приведены в табл.2. Анализ этих результатов показал:
1. При величине заказа Q=50 ед., соответствующей средней продолжительности функциональных циклов поставок =10 дней, величина страхового запаса SS=18 ед. Эта величина сопоставима с σс=13 ед., но значительно меньше величины 3σс, соответствующей «величине дефицита SL=0,99».
2. При величине заказа Q=518 ед. страховой запас SS=0 и при дальнейшем увеличении Q остается равным нулю.
3. Поскольку в комментариях к (1)-(3) ничего не говорится об ограничениях, то был проведен расчет при Q= =5 ед., т.е. при =1 день. Величина запаса составила SS=29,6 ед., следовательно, превзошла среднюю ежедневную поставку в 6 раз.
4. Полученные результаты настораживают не только с точки зрения страхового запаса, но и возможной вариации «величины дефицита» SL. Так, при Q=300 ед., σс=13 ед. варьирование значений функции f(k) от 0,3989 до 0,0003 в формуле (2) привело к изменению SL всего на 0,017, т.е. от SL=0,983 до SL=1,00.
Но не поддается объяснению область значений, когда «величина дефицита» SL становится меньше нуля, что противоречит физической сущности данной вероятностной характеристики. Например, в анализируемом примере при f(k) = 0,4 и Q = 5 ед. находим
SL = 1 - = - 0,04
Рассмотрим другой подход к расчету страхового запаса. При наличии статистической информации о ежедневных продажах ( , σσ, закон распределения) и продолжительности функционального цикла выполнения заказа (
, σт, закон распределения).Для расчета используется формула:
d3 = tpσc, (4)
где d3 – величина страхового запаса
tp – коэффициент, соответствующий вероятности Р отсутствия дефицита продукции на складе [2].
σc – среднее квадратическое отклонение.
Расчет по формуле (4) производится при следующих допущениях:
1. В начальный момент на складе находится Q единиц продукции, рассчитываемой по формуле
Q = (5)
Вывод формулы (5) приведен, например, в работе Е. С. Вентцель [2, стр.240] для «математического ожидания суммы случайного числа случайных величин:
», где X и Y – случайные величины. Аналогичная формула приведена в [1].2. Если по мере реализации суммарный расход ∑di достигает Q в момент времени Tj, а заявки продолжают приходить, то наступает ситуация дефицита. Предполагается, что неудовлетворенные заявки продолжают накапливаться до случайного момента Тк – времени поступления нового заказа. Таким образом, речь идет о прогнозируемом процессе накопления заявок, а не на реальном расходе на интервале ∆Т=Тк – Тj
3. Допустим, что статистические параметры, характеризующие ежедневный расход (или объем продаж), и σd – постоянны и не зависят от продолжительности цикла Т; закон распределения ежедневных продаж – нормальный. Для продолжительности функционального цикла, подчиняющегося нормальному закону, среднее значение равно , а среднее квадратическое отклонение
, (6)
где υт – коэффициент вариации, определенный на основе статистической обработки для базовой выборки.
Например, если статическая информация собрана для базового функционального цикла с параметрами =10 дней и σт=2 дня [1], то υт=0,2 и для цикла с =20 дней, соответственно σт=20=0,2·20=4 дня.
Таким образом, формула (2) может быть записана в виде:
а при подстановке σс в формулу (4), получим:
, (8)
Рассчитаем величину страхового запаса для Q= =5 ед. и σd=2,54; υт=0,2, т.е. при средней ежедневной поставке =1 день. Очевидно, =1 является нижней границей продолжительности функционального цикла при расчете по формуле (8). При подстановке tp=1,282, что соответствует вероятности отсутствия дефицита 0,9, находим
ед.
Соответственно, при Р=0,99 и tp=2,33 d3=6,36 ед.
При учете того, что ежедневная поставка Q=5 ед. и страховой запас (при Р=0,99) равен d3~6 ед. на складе в начале дня должен находиться запас в 11 единиц.
Результаты расчетов для других величин поставок приведены в табл. 3. Там же для сравнения приведены результаты расчетов по формулам (1) и (2) при условии, что расчет общего среднего квадратического отклонения приводился по формуле (7).
Из анализа табл.3 следует:
· при расчете по формуле (8) величина страхового запаса возрастает с увеличением длительности функционального цикла поставок продукции со склада;
Таблица 3
Величина страхового запаса при различных размерах заказа Q.
Размер заказа Q, ед.
Продолжительность цикла Т, дн.
σс,
формула (7)
Страховой запас, ед.
Р = 0,9
Р = 0,99
Р = 0,99*
5
50
100
300
518
1
2,6
10
60
103,6
2,73
4,85
12,83
63,2
106,8
3,5
6,2
16,5
80,9
136,9
6,4
11,3
30,0
143,1
248,8
4,5
7,4
17,6
80,8
135,5
*) Расчет по Бауэрсоксу-Клоссу при определении σс по формуле (7)
при использовании откорректированной зависимости для общего среднего квадратического отклонения σс, формула (7), величина страхового запаса также возрастает при увеличении длительности цикла Т, но менее интенсивно, чем при расчете по формуле 8).
· поскольку в работе [1] не удалось найти объяснение, почему уменьшается величина страхового запаса при расчете по формулам (1)-(3), то, на наш взгляд, не следует использовать указанные формулы для расчетов без проведения дополнительных исследований.
Литература:
1. Бауэрсокс Д. Дж., Клосс Д. Дж. Логистика – интегрированная цепь поставок. – М.:ЗАО «Олимп-Бизнес». 2001 – 640 стр.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: «Наука» – 1969. – 576 с.